Revived document about manifold geometry of the sphere, deleted by Can a while ago :-(
Frank Dellaert
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af18d11df6
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bad1c38fe6
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@ -0,0 +1,422 @@
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#LyX 2.0 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_layout Title
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Retraction on a Sphere
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\begin_layout Author
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|
Frank, Can, and Manohar
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\end_layout
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\begin_layout Standard
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\begin_inset FormulaMacro
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{\hat{\xi}}
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\begin_layout Subsubsection*
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|
Retraction
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\end_layout
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|
\begin_layout Standard
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|
Suppose we have a point
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|
\begin_inset Formula $p\in S^{2}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
and a 3-vector
|
||||||
|
\begin_inset Formula $\xihat$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
, Absil
|
||||||
|
\begin_inset CommandInset citation
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|
LatexCommand cite
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|
key "Absil07book"
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|
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|
\end_inset
|
||||||
|
|
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|
tells us we can simply add
|
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|
\begin_inset Formula $\xihat$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
to
|
||||||
|
\begin_inset Formula $p$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
and renormalize to get a new point
|
||||||
|
\begin_inset Formula $q$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
on the sphere.
|
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|
This is what he calls a
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\series bold
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|
retraction
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|
\family roman
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||||||
|
\series medium
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|
\shape up
|
||||||
|
\size normal
|
||||||
|
\emph off
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||||||
|
\bar no
|
||||||
|
\strikeout off
|
||||||
|
\uuline off
|
||||||
|
\uwave off
|
||||||
|
\noun off
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|
\color none
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||||||
|
|
||||||
|
\begin_inset Formula $R_{p}(\xihat)$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
,
|
||||||
|
\family default
|
||||||
|
\series default
|
||||||
|
\shape default
|
||||||
|
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|
||||||
|
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|
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|
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|
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|
||||||
|
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|
||||||
|
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|
||||||
|
\color inherit
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin_inset Formula
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
q=R_{p}(\xihat)=\frac{p+\xihat}{\left|p+\xihat\right|}=\frac{p+\xihat}{\alpha}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
with
|
||||||
|
\begin_inset Formula $\alpha$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
the norm of
|
||||||
|
\begin_inset Formula $p+\xihat$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
.
|
||||||
|
The only restriction on
|
||||||
|
\begin_inset Formula $\xihat$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
is that it is in the tangent space
|
||||||
|
\begin_inset Formula $T_{p}S^{2}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
at
|
||||||
|
\begin_inset Formula $p$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
, i.e.,
|
||||||
|
\begin_inset Formula $p^{T}\xihat=0$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
.
|
||||||
|
Multiplying with
|
||||||
|
\begin_inset Formula $p^{T}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
on both sides we have
|
||||||
|
\begin_inset Formula
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\alpha p^{T}q=p^{T}p+p^{T}\xihat
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
and (since
|
||||||
|
\begin_inset Formula $p^{T}p=1$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
and
|
||||||
|
\begin_inset Formula $p^{T}\xihat=0$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
) we have
|
||||||
|
\begin_inset Formula $\alpha=1/(p^{T}q)$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
.
|
||||||
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin_layout Subsubsection*
|
||||||
|
Inverse
|
||||||
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin_layout Standard
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||||||
|
Suppose we are given points
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|
\begin_inset Formula $p$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
and
|
||||||
|
\begin_inset Formula $q$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
on the sphere, what is the tangent vector
|
||||||
|
\begin_inset Formula $\xihat$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
that takes
|
||||||
|
\begin_inset Formula $p$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
to
|
||||||
|
\begin_inset Formula $q$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
? We can find a basis
|
||||||
|
\begin_inset Formula $B$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
for the tangent space, with
|
||||||
|
\begin_inset Formula $B=\left[b_{1}|b_{2}\right]$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
a
|
||||||
|
\begin_inset Formula $3\times2$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
matrix, by either
|
||||||
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin_layout Enumerate
|
||||||
|
Decompose
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||||||
|
\begin_inset Formula $p=QR$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
, with
|
||||||
|
\begin_inset Formula $Q$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
orthonormal and
|
||||||
|
\begin_inset Formula $R$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
of the form
|
||||||
|
\begin_inset Formula $[1\,0\,0]^{T}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
, and hence
|
||||||
|
\begin_inset Formula $p=Q_{1}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
.
|
||||||
|
The basis
|
||||||
|
\begin_inset Formula $B=\left[Q_{2}|Q_{3}\right]$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
, i.e., the last two columns of
|
||||||
|
\begin_inset Formula $Q$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
.
|
||||||
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin_layout Enumerate
|
||||||
|
Form
|
||||||
|
\begin_inset Formula $b_{1}=p\times a$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
, with
|
||||||
|
\begin_inset Formula $a$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
(consistently) chosen to be non-parallel to
|
||||||
|
\begin_inset Formula $p$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
, and
|
||||||
|
\begin_inset Formula $b_{2}=p\times b_{1}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin_inset Note Note
|
||||||
|
status collapsed
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin_layout Plain Layout
|
||||||
|
To choose
|
||||||
|
\begin_inset Formula $a$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
, one way is to divide the sphere into regions, e.g., pick the axis
|
||||||
|
\begin_inset Formula $e_{i}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
such that
|
||||||
|
\begin_inset Formula $e_{i}^{T}p$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
is smallest.
|
||||||
|
However, that leads to discontinuous boundaries.
|
||||||
|
Since
|
||||||
|
\begin_inset Formula $0\leq\left|e_{i}^{T}p\right|\leq1$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
for all
|
||||||
|
\begin_inset Formula $p\in S^{2}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
, a better idea might be to use a mixture, e.g.,
|
||||||
|
\begin_inset Formula
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
a=\frac{1}{2(x^{2}+y^{2}+z^{2})}\left[\begin{array}{c}
|
||||||
|
y^{2}+z^{2}\\
|
||||||
|
x^{2}+z^{2}\\
|
||||||
|
x^{2}+y^{2}
|
||||||
|
\end{array}\right]
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin_layout Standard
|
||||||
|
Now, if
|
||||||
|
\begin_inset Formula $\xihat=B\xi$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
with
|
||||||
|
\begin_inset Formula $\xi\in R^{2}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
the 2D coordinate in the tangent plane basis
|
||||||
|
\begin_inset Formula $B$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
, we have
|
||||||
|
\begin_inset Formula
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\alpha q=p+\xihat=p+B\xi
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
If we multiply both sides with
|
||||||
|
\begin_inset Formula $B^{T}$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
(project on the basis
|
||||||
|
\begin_inset Formula $B$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
) we obtain
|
||||||
|
\begin_inset Formula
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\alpha B^{T}q=B^{T}p+B^{T}B\xi
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
and because
|
||||||
|
\begin_inset Formula $B^{T}p=0$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
and
|
||||||
|
\begin_inset Formula $B^{T}B=I$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
we trivially obtain
|
||||||
|
\begin_inset Formula $\xi$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
as the scaled projection
|
||||||
|
\begin_inset Formula $B^{T}q$
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
:
|
||||||
|
\begin_inset Formula
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\xi=\alpha B^{T}q=\frac{B^{T}q}{p^{T}q}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin_layout Standard
|
||||||
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\begin_inset CommandInset bibtex
|
||||||
|
LatexCommand bibtex
|
||||||
|
bibfiles "../../../papers/refs"
|
||||||
|
options "plain"
|
||||||
|
|
||||||
|
\end_inset
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
|
\end_layout
|
||||||
|
|
||||||
|
\end_body
|
||||||
|
\end_document
|
||||||
Loading…
Reference in New Issue